A SZABADSÁG hatfokozatú JÁRMŰSZIMULÁTORA BIZTONSÁGI ELEMZÉSEKHEZ

Rövid leírás

TÖBB SZABADSÁG SZABADSÁGI JÁRMŰSZIMULÁTOR TÁMOGATÁSA A KÖZÖS BIZTONSÁGI ELEMZÉSHEZ.

Leírás

Írta: SHARATH CHANDRA PRODDUTURI

DOKTORI TÉZISEK A FLORIDAI EGYETEM DOKUMENTUMISKOLÁJÁHOZ BESZÁMOLTÁK A FLORIDA EGYETEMI TUDOMÁNYZATMESTER MÉRÉSE KÖVETELMÉNYEINEK RÉSZLETES TELJESÍTÉSÉBEN

KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Szeretném őszinte köszönetemet kifejezni felügyelő bizottsági elnökemnek (Dr. Norman G. Fitz-Coy) folyamatos útmutatásáért, támogatásáért és segítségéért. Nagyon hálás vagyok neki. Köszönetemet szeretném kifejezni felügyelő bizottsági tagjaimnak (Dr. Warren E. Dixon és Dr. Gloria J. Wiens) támogatásukért és útmutatásaikért. Köszönetemet szeretném kifejezni szüleimnek minden erkölcsi és anyagi támogatásukért, amelyek nélkül ez a feladat nem valósulhatott volna meg. Sehol sem lennék nélkülük. Szeretném köszönetet mondani nővéreimnek (Shirisha és Swetha) egész életemben nyújtott segítségükért és támogatásukért. Szeretnék köszönetet mondani az AMAS-os barátaimnak és kollégáimnak (Frederick Leve, Shawn Allgeier, Sharan Asundi, Takashi Hiramatsu, Jaime José Bestard, Andrew Tatsch, Andrew Waldrum, Ai-Ai Cojuangco, Dante Buckley, Nick Martinson, Josue Munoz, Jessica Bronson és Gustavo Roman) tanácsért, segítségért és támogatásért.

TARTALOMJEGYZÉK oldal KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS. 4 ÁBRÁK FELSOROLÁSA. 7 ÖSSZEFOGLALÁS. 9 1. FEJEZET

BEVEZETÉS ÉS HÁTTÉR. 11.

A MOZGÁSFOGLALÁS EGYENLETEI. 19 Koordináta keretek. 19 Kinematikai mozgásegyenlet. 24 Dinamikus egyenletek. 27 Általánosított külső erők. 30 Külső erők. 30 Tolóerő. 30 Aerodinamikai erők (húzás és emelés). 32 Gravitációs erő. 33 Külső pillanatok. 34 Aerodinamikai pillanatok. 34 Gravitációs pillanat. 35 Tolóerő. 36

A FELHASZNÁLT MODELLEK LEÍRÁSA. 38 Gravitációs modell. 38 Tehetetlenségi modell. 49 Strap-on booster. 50 Hengeres szegmens. 50 Parabolikus orrkúp. 52 uszony. 54 Folyékony motor. 57 Szilárd motor. 59 Hasznos teher. 61 Húzási együttható modell. 63 Nyomásközpont modell. 64 Orr. 66 hengeres test. 67 Kúpos váll. 67 Kúpos Boattail. 68 uszony (farokszakasz). 68 A WGS84 Ellipszoid modell. 69 5

SZIMULÁCIÓS EREDMÉNYEK ÉS MEGBESZÉLÉS. 73 Szimuláció. 73 Érvényesítés. 87

KÖVETKEZTETÉS ÉS JÖVŐBENI MUNKA. 91 Következtetések. 91 Jövőbeli munka. 92

MATLAB FUNKCIÓK ÉS SZKript. 93

SZIMULÁCIÓS KONFIGURÁLÁS. 116

A HIVATKOZÁSOK FELSOROLÁSA. 132 Életrajzi rajz. 135

ÁBRÁK LISTÁJA ábra

Űralapú hatótávolság és hatótávolság-biztonság, ma és a jövőben. 13.

A különböző keretek relatív orientációja. 21

Euler szögei és a jármű váza és a jármű középső vízszintes váza közötti relatív tájolás. 24.

A hordozórakéta geometriája és a különféle helyzetvektorok. 28.

Egy hordozórakétára repülés közben ható külső erők. 31

Pozícióvektor ábrázolása derékszögű és gömb koordinátákban. 42

A heveder erősítő hengeres szegmense. 51

Parabolikus orrkúp. 53

Folyékony motor. 58

Kúpos váll. 67

Kúpos Boattail. 68

Fin és farok rész. 69

Egy tetszőleges „P” pont geodéziai ellipszoidja és geodéziai koordinátái. 70

A hordozórakéta különböző paraméterei az idő függvényében. 77

A hordozórakéta sebessége a tehetetlenségi keretben. 79

A hordozórakéta helyzete a tehetetlenségi keretben. 80

Indítson járművet az indítás idején a J2000 tehetetlenségi keretéből nézve. 80

A hordozórakéta tehetetlenségi pillanatai pillanatnyi tömegközéppontjáról. 81.

A heveder-erősítő tehetetlenségi pillanatai a hordozórakéta pillanatnyi tömegközéppontjáról és pillanatnyi tömegközéppontjáról. 82

Az első szakasz tehetetlenségi nyomatéka a hordozórakéta pillanatnyi tömegközéppontjáról és pillanatnyi tömegközéppontjáról. 84.

A második szakasz tehetetlenségi nyomatéka a hordozórakéta pillanatnyi tömegközéppontjáról és pillanatnyi tömegközéppontjáról. 85

A harmadik szakasz tehetetlenségi nyomatéka a hordozórakéta pillanatnyi tömegközéppontjáról és pillanatnyi tömegközéppontjáról. 86

Instrumentális adatokra vagy tolóerő vektorra van szükség a jármű vázában. 90

A DELTA II Indító jármű geometriája. 116

Strap-on emlékeztető geometria. 116

A DELTA II hordozórakéta és a Strap-on Booster elemei. 120

Hengeres héj. 121

Hajtóanyag héja. 122

Parabolikus orrkúp. 123.

Első fázis . 125

Második szakasz. 127.

Harmadik szakasz. 128

B-12 Strap-on booster a rakéta körül. 130

támogatja az egyidejű küldetéseket, és továbbfejlesztett döntéstámogató modelleket és szimulációs képességeket kínál. Ezeknek a tartományoknak alacsonyabb költségekkel és csökkentett összetettséggel kell rendelkezniük, miközben továbbra is felülmúlhatatlan biztonságot nyújtanak a lakosság, a hajózószemélyzet, a személyzet, a járművek és a létesítmények számára. A nyomon követéshez és kommunikációhoz használt kereskedelmi és kormányzati űralapú eszközök számos vonzó lehetőséget kínálnak e célok elérésére ”(31., 2. o.). Az 1-1. Ábra mutatja a jelenlegi elsődleges keleti és nyugati tartomány műszeres helyszíneit (folytonos vonalak) és egy lehetséges jövőbeli űralapú konfigurációt, kevesebb földi eszközzel (szaggatott vonal). Az 1-1. Ábrából meg kell jegyezni, hogy a jövőbeli űralapú konfiguráció még mindig tartalmazhat néhány indítófejű földi eszközt a láthatóság és a gyors reagálási idő után röviddel a felszállás után [31].

1-1. Ábra Űralapú hatótávolság és hatótávolság, ma és a jövőben. Újranyomtatva D. E. Whiteman, L. M. Valencia és J. C. Simpson engedélyével, „Space-Range Range and Future Space Range Applications”, a NASA Dryden Flight Research Center, Edwards, Kalifornia. Rep-H-2616, NASA TM-2005-213662, 2005.

Űr-alapú telemetria és hatótávolság-biztonság (STARS) Az űr-alapú telemetria és hatótávolság-biztonság (STARS) egy sokoldalú és több központból álló projekt, amelynek célja az űralapú eszközök, ideértve a nyomkövető és adatátviteli műholdas rendszert (TDRSS), megvalósíthatóságának meghatározása. és a globális helymeghatározó rendszer (GPS) az üzemeltetési költségek csökkentése és a megbízhatóság növelése érdekében. A STARS tanulmányt a Nemzeti Repülési és Űrhivatal (NASA) hozta létre, hogy bemutassa az űralapú eszközök kommunikációs képességét a hatótávolság-biztonság (alacsony sebességű, rendkívül nagy megbízhatóságú metrikus nyomkövetési adatok és repülési befejezési parancsok) és a hatótávolság érdekében. Felhasználó (videó, hang és jármű telemetria) [31]. A jövőben elképzelt űrtartomány támogatása érdekében tesztelnek és fejlesztenek új és továbbfejlesztett rendszereket, amelyek hatótávolsági és Ranger felhasználói képességekkel rendelkeznek. A STARS projekt tervezett és befejezett szakaszainak rövid leírása az alábbiakban található [31], [30], [10], [21]. 1. fázis •

Egy új S-sávos biztonsági rendszert fejlesztett ki és tesztelt.

2003. június-július folyamán hét próbarepülést hajtottak végre egy F-15B típusú repülőgéppel a Dryden Flight Research Centerben, a jelenlegi hordozórakéták reprezentatív reprezentációs rendszerének felhasználásával.

Sikeresen bemutatták a STARS alapvető képességét műholdas kapcsolatok létrehozására és fenntartására a TDRSS és a GPS segítségével.

A cél az, hogy nagyságrenddel növelje a tartományi felhasználói adatátviteli sebességet az S-sávos biztonsági rendszer és egy új telemetriai rendszer fejlesztésével, amely Ku-sávos fázissoros antennát használ.

A TDRSS az űralapú kommunikációs kapcsolat (azaz a TDRSS nyomonkövetési és adatgyűjtési szolgáltatásokat nyújt a hordozórakéta/alacsony földfelszín körül keringő űrhajó és a NASA/ügyfélirányító és adatfeldolgozó létesítmények között).

A 3. fázis egy kicsi, könnyű hardvert használ, amely kompatibilis egy teljesen működőképes rendszerrel, és demonstrálja a Ka-sávos TDRSS kommunikációs kapcsolat fenntartásának képességét hiperszonikus repülés közben.

A 2006-os pénzügyi évben dolgozzon ki a hatótávolság-biztonsági egység kisebb, könnyebb változatát a távolsági biztonsági rendszer számára.

A TDRSS az űralapú kommunikációs kapcsolat.

A próbarepüléseket a 2007-es pénzügyi év végére tervezik.

Az űralapú hatótávolságú biztonsági rendszer a 3. fázis fejlesztésének befejezésével elkészül.

Ka-sávos adó (NASA) és szakaszos tömb antenna (AFRL) fejlesztése a Range User rendszer számára a 2006-2007-es pénzügyi évben.

Végezzen repülési tesztet repülőgépen (Flight Demo 3a), hogy tesztelje a Glenn Kutatóközpont (GRC) Ka-band aktív fázisú tömb antennájának teljesítményét a 2007-es pénzügyi évben.

Végezze el a Ka-band rendszer repülési tesztjét az F-15B-n a 2008-as pénzügyi évben.

Újrarepülési 3. fázisú tartomány biztonsági egység kialakítása fejlesztésekkel.

Végezze el a hatótávolság-biztonsági és hatótávolság-felhasználói rendszerek tanúsítását a 2009–2011-es pénzügyi évben. A STARS programot Űralapú hatótávolsági demonstrációra és tanúsításra nevezték át

(SBRDC) program [20]. A világhálón/interneten rendelkezésre álló információkból az 1., 2. és 3. szakasz befejeződik, és a STARS/SBRDC program jelenlegi állapota a fenti 4. szakaszban szerepel [19]. A STARS koncepcióhoz támogatási eszközökre van szükség szimulációs szoftverek formájában, amelyek lehetőséget nyújtanak az új (vagy azokban bekövetkezett) változások és elemzések gyors elemzésére, amely opciót nem lehet egyszerűen csak hardverrel megvalósítani. A pálya és a link margó elemző eszköz egyike a STARS által megkövetelt kulcsfontosságú támogatási eszközöknek. A pálya és a link pályájának „része”

a szimulátor nem érvényesíthető a kritikus adatok hiánya miatt (ITAR 1 probléma). Végül az 5. fejezetben a kutatás következtetéseit és a lehetséges jövőbeni munkákat tárgyaljuk.

ITAR - Nemzetközi fegyverkereskedelmi szabályozás

2. FEJEZET A MOZGÁSFOGLALÁS EGYENLETEI Ez a fejezet egy hordozórakéta mozgásegyenleteit (vagyis a dinamikus és kinematikai egyenleteket) tárgyalja. Először a hátteret mutatják be, majd bemutatják egy fogyasztható hordozórakéta mozgásegyenleteinek levezetéseit. Végül megvitatják a hordozórakétára repülés közben ható általánosított erőket. A kutatásban a következő feltételezéseket fogalmazták meg [9]. •

A hordozórakétát (a felerősíthető erősítőkkel) feltételezzük, hogy merevek.

A hordozórakéta tömegközéppontja a hossztengelyen fekszik.

A hossztengely a fő tehetetlenségi tengely. Koordináta keretek Annak érdekében, hogy levezessék egy hordozórakéta mozgási egyenleteit, amelyek leírják annak helyzetét és

orientáció az idő függvényében, különféle koordináta-kereteket veszünk figyelembe. Ezeket a kereteket az alábbiakban tárgyaljuk. Inerciális keret (XiYiZi): A hordozórakéta mozgásának tanulmányozásához a Föld közelében és bolygóközi szinten a J2000 keretet inerciális keretnek tekintjük. Ennek a keretnek a kezdete a Föld tömegközéppontjában van; pozitív Z tengelye a Föld északi pólusa felé mutat és egybeesik a Föld forgástengelyével. A pozitív X tengely a Föld egyenlítői síkjában fekszik, és a tavaszi napéjegyenlőség felé mutat a J2000 korszakban. Az Y tengely az egyenlítői síkban fekszik, és egy jobbkezes derékszögű keretet egészít ki [9], [28]. Forgó geocentrikus keret (XgYgZg): Ez a keret a forgó Földdel együtt forog. Ennek a keretnek a pozitív Z-tengelye a Föld északi pólusa felé mutat, és egybeesik a Föld forgástengelyével. A pozitív X-tengely az egyenlítői síkban fekszik, keresztezi a felső ágat

21 2-1. Ábra. A különböző keretek relatív orientációja

olyan szögön keresztül, amely megegyezik az Xi és az Xg tengely közötti szöggel. Ez a szög megegyezik a tavaszi napéjegyenlőség HG Greenwich-i óraszögével. Ha mindkét képkocka egybeesik t = t0 időpontban, akkor a HG szöget bármikor megadhatjuk. 2-1.

Mivel esetünkben a tehetetlenségi keret a J2000 képkocka, a (t - t0) kifejezés megegyezik a másodpercekben eltelt idővel 2000. január 1-jétől, UTC 12: 00-tól az érdekes „t” időpontig. A keretek közötti transzformációt az Eq. 2-2. A vektorok

E és I E az egyenlőségben. 2-3

egy tetszőleges E vektort képvisel, amely a forgó geocentrikus keretben és az inerciális keretben van koordinálva. A transzformációs mátrixot az Eq. 2-3. G

⎡ cos H G sin H G 0 ⎤ (2-3) CGI = ⎢⎢ - sin H G cos H G 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ Forgó geocentrikus keret/Jármű-központú vízszintes keret [9]: A

ezt a két keretet két egymást követő forgatással lehet meghatározni. A forgó geocentrikus keretet (XgYgZg keret) először Z tengelye (azaz Zg tengelye) körül egy λ szög, a hordozórakéta földrajzi hosszúsága forgatja. Ezt az új keretet az új Y tengelye körül a ⎛π ⎞ körül egy szög - ⎜ + φ ⎟ elforgatja, ahol φ a hordozórakéta geocentrikus szélessége. A kapott ⎝2 ⎠ keret ugyanolyan tájolású, mint a jármű közepén fekvő vízszintes keret. A keretek közötti transzformációt az Eq. 2-4. A V E és a vektorok

E egyenletben. 2-4

tetszőleges E vektor koordinálva van a járműközpontú vízszintes keretben és a forgó geocentrikus keretben. A transzformációs mátrixot az Eq. 2-5. V

⎡ - sin φ cos λ - sin φ sin λ cos φ ⎤ (2-5) CVG = ⎢⎢ - sin λ cos λ 0 ⎥⎥ ⎢⎣ - cos φ cos λ - cos φ sin λ - sin φ ⎥⎦ Jármű- középre helyezett vízszintes keret/járműváz [9]: e kettő relatív iránya

a kereteket három egymást követő forgatással lehet meghatározni, amint azt a 2-2. ábra mutatja. A három szöget, amelyen keresztül ezt a három egymást követő forgatást végrehajtják, Euler-szögeknek nevezzük. A járműközpontú vízszintes keretet először Z tengelye (azaz Z v-tengelye) körül ψ szöggel elforgatjuk, hogy új keretet kapjunk X v1Yv1 Z v1. ψ a ferde szög, a hordozórakéta hossztengelyén átmenő függőleges sík és az X v tengely közötti szög. Aztán az új keret

X v1Yv1 Z v1 Y tengelye (azaz Yv1 tengelye) körül θ szöggel elforgatva kap egy újabb új keretet X v2 Yv2 Z v2. A θ magassági szögnek, a hordozórakéta hossztengelye és a helyi vízszintes sík közötti szögnek hívják. Végül a legújabb keretet, X v2 Yv2 Z v2, X tengelye körül (azaz X v2 tengelye) ϕ szöggel elforgatjuk, hogy megkapjuk az X rYr Z r járművázat. A ϕ partszögnek, a Z r tengely és a hordozórakéta hossztengelyén átmenő függőleges sík közötti szögnek nevezzük. A keretek közötti transzformációt az Eq.2-6. Az R vektorok

E és V E egyenlő. A 2-6. Egy tetszőleges E vektort képvisel, amely a jármű keretében van koordinálva, és

a jármű középpontjában fekvő vízszintes keret. A transzformációs mátrixot az Eq. 27. Az Eq. 2-7, C θ és S θ a angle szög koszinuszát és szinuszát képviselik. R

Cθ Cψ ⎡ ⎢ = ⎢ −Cϕ Sψ + Sϕ Sθ Cψ ⎢⎣ Sϕ Sψ + Cϕ Sθ Cψ

Cθ Sψ Cϕ Cψ + Sϕ Sθ Sψ - Sϕ Cψ + Cϕ Sθ Sψ

- Sθ ⎤ Sϕ Cθ ⎥⎥ Cϕ Cθ ⎥⎦

2-2. Ábra. Euler szögek és a jármű váza és a jármű középső vízszintes váza közötti relatív orientáció Inerciális keret/Jármű váz [9]: Az inerciális keretről a jármű vázára történő átalakulás a CGI, CVG és CRV átalakítások inerciára történő egymás utáni alkalmazásával érhető el. keret. A keretek közötti transzformációt az Eq. 2-8. Az R E és I vektorok

E egyenletben. A 2-8. Ábra egy tetszőleges E vektort képvisel, amely a jármű vázában és az inerciában van koordinálva

keret ill. A transzformációs mátrixot az Eq. 2-9.

E = CRI I E CRI = CRV CVG CGI R

(2-8) (2-9) A mozgás kinematikai egyenlete

A mozgás mozgási kinematikai egyenlete összefügg egy hordozórakéta orientációjával és szögsebességével. A kinematikai egyenlet levezetését az alábbiakban mutatjuk be. ⎡ ω1 ⎤ ⎢ ⎥ Legyen ω = ⎢ω2 ⎥ a járműváz szögsebessége a járműhöz viszonyítva⎢⎣ω3 ⎥⎦

középre helyezett vízszintes keret a jármű keretében kifejezve. Mivel a jármûközpontú vízszintes keret inerciális keret, ω a hordozórakéta abszolút szögsebessége. Legyen ψ &, θ &

és be & legyen az Euler szögsebessége a 3-2-1 Euler forgási sorrendben a jármű középpontjában fekvő vízszintes kerettől a jármű vázáig. A hordozórakéta ω szögsebessége kifejezhető az Euler-sebességgel, amint azt az Eq. 2-10. A C R − V 1 forgásmátrixok

és C R − V egyenlőségben. 2-10 egyenletben van megadva. 2-11 és 2-12. ⎡0⎤ ⎡ ω1 ⎤ ⎡ϕ & ⎤ ⎢ & ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ω = + C 0 ⎢θ ⎥ + CR − VR - V 1 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎢ω3 ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦

0 ⎡1 ⎢ C R −V 1 = ⎢ 0 cos ϕ ⎣⎢ 0 - sin ϕ

0 ⎤ ⎡cos ϕ bűn ϕ ⎥⎥ ⎢⎢ 0 cos ϕ ⎦⎥ ⎣⎢ bűn ϕ

0 - bűn ϕ ⎤ 1 0 ⎥⎥ 0 cos ϕ ⎦⎥

0 ⎡1 ⎢ = ⎢ 0 cos ϕ ⎣⎢ 0 - bűn ϕ

0 ⎤ ⎡cos ϕ bűn ϕ ⎥⎥ ⎢⎢ 0 cos ϕ ⎦⎥ ⎣⎢ bűn ϕ

0 - sin ϕ ⎤ ⎡ cosψ 1 0 ⎥⎥ ⎢⎢ - sinψ 0 cos ϕ ⎦⎥ ⎣⎢ 0

(2-11) sinψ cosψ 0

A 2-10. Egyenlet ekvivalensként írható át. 2-13 ahol az X mátrix egyenlő. 2-13 egyenletben van megadva. 2-14. A 2-13 egyenlet ekvivalensként írható át. 2-15. Az X mátrix egyenlő. A 2-14-et megfordítjuk és szubsztituáljuk az Eq. 2-15. 2-16. ⎡ϕ & ⎤ ⎡ ω1 ⎤ ⎢ & ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ω2 ⎥ = X ⎢θ ⎥ ⎢ϕ & ⎥ ⎢ω3 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎡ ⎡ CR −V 2 (1,1) CR −V 1 (1, 2) CR - V (1,3) ⎤ ⎢ ⎥ X = ⎢CR −V 2 (2,1) CR −V 1 (2, 2) CR −V (2,3) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ CR −V 2 (3,1 ) CR −V 1 (3, 2) CR −V (3,3) ⎦ ⎡ϕ & ⎤ ⎡ ω1 ⎤ ⎢ & ⎥ ⎥ −1 ⎢ ⎢θ ⎥ = X ⎢ω2 ⎥ ⎢ϕ & ⎥ ⎢ω3 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ϕ & ⎤ ⎡cos θ ⎢ & ⎥ 1 ⎢ ⎢θ ⎥ = ⎢ 0 cos θ ⎢ψ & ⎥ ⎢⎣ 0 ⎣ ⎦

sin ϕ sin θ cos ϕ sin θ ⎤ ⎡ ω1 ⎤ cos ϕ cos θ - sin ϕ cosθ ⎥⎥ ⎢⎢ω2 ⎥⎥ sin ϕ cos ϕ ⎥⎦ ⎢⎣ω3 ⎥⎦

Egyenlő A 2-16 a hordozórakéta mozgási kinematikai egyenlete. A járműközpontú vízszintes keret és a járműváz viszonylagos tájolásának Euler-szög-ábrázolása a következő hátrányokkal jár: i) szingularitás θ =

és (ii) a kinematikai megoldás

mozgásegyenlet Eq. A 2-16 számítási szempontból intenzív, mivel trigonometrikus mennyiségeket tartalmaz. E problémák elkerülése érdekében kvaterniókat használnak a jármű középső vízszintes vázának és a jármű vázának relatív orientációjának ábrázolására. A CRV transzformációs mátrix kvaternerekben is kifejezhető, amint az az Eq. 2-17. A q0, q1, q2 és q3 kvantiták egyenértékben. A 2-17 értékeket az Eqs kifejezések segítségével számoljuk ki. 2-18–2-21. ⎡ 2q0 2 + 2q12 - 1 2q1q2 + 2q0 q3 2q1q3 - 2q0 q2 ⎤ ⎢ ⎥ CRV = ⎢ 2q1q2 - 2q0 q3 2q0 2 + 2q2 2 - 1 2q2 q3 + 2q0 q1 ⎥ ⎢ 2q1q2 + 2q0 q3 q + 2q32 - 1⎥ ⎣ ⎦