Az atom-Bose-Einstein atom kondenzátumok nulla hőmérsékletű, átlagos mező elmélete

Absztrakt

Áttekintjük a nulla hőmérsékletű, átlagos mező elmélet alkalmazását a jelenlegi kísérleti atomi Bose-Einstein kondenzátumokra. Az elvégzett közelítések érvényességét úgy értékeljük, hogy összehasonlítjuk az átlagmező eredményeit a különféle kísérleti adatokkal.

1. Bemutatkozás

A Bose-Einstein kondenzáció (BEC) legutóbb közölt jelentései gyengén kölcsönhatásban lévő csapdába esett alkáli gázokban [1–3] megerősítették a bozonok tulajdonságát, amelyet Bose 1924-ben jósolt először fotonokra, 1925-ben pedig Einstein [5] atomokra. . Az ilyen kondenzátumok előállítása lehetővé tette az atomfizikai kísérletek új generációjának lehetőségét azonos kvantumállapotú mezoszkópos vagy makroszkopikus atomcsoportokon.

A folytatás előtt meg kell jegyeznünk az alkáli rendszerek további három aspektusát, amelyek ellentétesek a folyékony 4 He esettel, mivel ezek a probléma általános megközelítését némileg eltérnek a szuperfolyékony rendszerek kezelésére hagyományosan alkalmazott megközelítéstől.

Először is, a lúgokat egy külső potenciál (mágneses mező vagy mágneses és fénymezők kombinációja) korlátozza, ezért sűrűségük nem homogén. Így az alkáli BEC-ket nem lehet megfelelően leírni egy térben egyenletes kondenzátum hullámfüggvénnyel, mint amilyen a 4 He ömlesztett folyadék leírására szolgál. Nem csak a kvantitatív modellezési módszereket kell módosítani az inhomogén és a homogén BEC kezelésére, de vannak minőségi különbségek is: negatív szórási hosszúságok esetén inhomogén esetben létezhet egy kis hosszú élettartamú BEC [8,9], de nem homogén rendszer [10].

Másodszor, amint azt Cornell [11] tárgyalja, az alkáli BEC-k önmagukban metastabilak. A zárt alkálirendszer egyensúlyi állapota mikro-Kelvin alatti hőmérsékleten szilárd. A gáz rekombinációjának ideje azonban nagyon hosszú a hígítási határértékben, és legalább a másodperc nagyságrendű a jelenlegi kísérletekben.

Harmadszor, amint ez a különszám [12–14] másutt is látható, az alkáli BEC-ek ultracold ütközési fizikája rendkívül összetett. Bár az ütközések hatásai néhány paraméterbe (szórási hosszúságba) beágyazhatók, ezeknek a paramétereknek a kvantitatív meghatározása meglehetősen nehéz és továbbra is aktív kutatási terület. Az ebben a cikkben leírt munka ezeket a paramétereket használja alapvető inputként, és szem előtt kell tartani, hogy értékeik jelentős bizonytalanságoknak vannak kitéve, semmiképpen sem kevesebbek, mint 10%.

Ez a cikk az alkáli BEC-k modellezése terén eddig végzett munkánk részleges áttekintését mutatja be. Ez a munka a gyengén kölcsönhatásban lévő Bose-részecskék külsőleg zárt rendszerének kvantummechanikájának nulla hőmérsékletű, átlagos mező-megfogalmazásán alapult. Ennek az elméletnek számos eredménye, például a kondenzátum geometriája, élettartama és gerjesztési frekvenciája, közvetlenül összehasonlítható a jelenlegi kísérletek adataival. Ezt az összehasonlítást arra használjuk, hogy értékeljük az átlagmező elmélet (MFT) alkalmazásának érvényességét a kísérleti Bose-Einstein kondenzátumok (BEC) jelenlegi termésére.

Az itt bemutatott nulla hőmérsékletű MFT-egyenleteket Bogoliubov [15] vezette le sok évvel ezelőtt a 4 He szuperfolyadék tanulmányozása céljából. Feltételezzük, hogy a rendszer, amelyre alkalmazzák, azonos bozonok gyengén kölcsönhatásban lévő, hígított gázát képezi, ami - mint fentebb említettük - nem ad megfelelő leírást a folyékony héliumról. Úgy tűnik azonban, hogy megfelel a semleges alkáli atomok mágneses csapdájába eső gázrendszerben fennálló feltételeknek. Hangsúlyozzuk, hogy az előző állítást nem szabad eleve igaznak tekinteni, hanem szigorú kísérleti teszteknek kell alávetni. Itt bemutatjuk az MFT előrejelzések és a kísérlet összehasonlításának áttekintését.

A dolgozat terve a következő. A Sec. 2 bemutatjuk a Gross-Piteavskii (GP) és Bogoliubov egyenletek levezetését (amelyeket itt „MFT” egyenleteknek hívtunk). A megbeszélés részeként megpróbálunk részletes leírást adni az MFT egyenletek elérése során tett összes közelítésről. A Sec. 3 bemutatjuk ezen egyenletek megoldásának eredményeit olyan esetekre, ahol lehetséges a kísérletekkel való összehasonlítás. A 4. és 5. szakasz leírja azokat az algoritmusokat és numerikus eljárásokat, amelyeket a jelen cikkben és az ott idézett korábbi munkákban bemutatott eredmények megszerzésére használtunk. Az MFT-egyenletek tényleges megoldása speciális kísérleti érdeklődésre számot tartó esetekre egy olyan téma került kialakításra, amely nemrégiben alakult ki, és úgy gondoljuk, hogy a számítási hatékonyság növelésének jelentős lehetőségei vannak a jelenlegi gyakorlatban elérteknél. Ilyen fejlesztésekre minden bizonnyal szükség lesz, hogy túllépjük a BEC nulla hőmérsékletű MFT leírását. Így az anyag a Secs. A 4. és 5. ábrát olyan részletességgel mutatjuk be, amely dokumentálnunk kell szemléletünket, amelyet azok használhatnak, akik javítani tudnak rajta.

2. Mean-Field Theory: Közelítések és levezetések

Ebben a szakaszban bemutatjuk az alap nulla hőmérsékletű MFT egyenletek némileg részletes levezetését. Ezek az egyenletek a Gross-Pitaevskii egyenletből állnak, amely leírja a csapdába esett atomfelhő kondenzált részének tulajdonságait, és a Bogoliubov-egyenletekből, amelyek a nem kondenzált rész tulajdonságait írják le. Az MFT-egyenletek két levezetését mutatjuk be. Az első levezetés Bogoliubov-transzformációval öntötte a kölcsönösen kölcsönhatásba lépő bozonok gyűjteményének nagykanonikus hamiltonját egy nem interakciós kvázirészecske gyűjtemény formájában, ahol a kondenzátum vákuumállapotúvá vált. A második levezetés az időfüggő Gross-Pitaevskii egyenleten végrehajtott lineáris válasz-elméletet [16] alkalmazza (amely maga is variációs elvből származik) az alapvető MFT-egyenletek megszerzéséhez. A levezetések bemutatása előtt először megvitatjuk azokat az alapvető közelítéseket, amelyeket a hideg, csapdába esett atomfelhő modellezésében tettek.

2.1 Alapvető közelítések

A BEC kísérletek jelenlegi generációjában [1–3] az alkáli atomok felhőjét optikailag előre lehűtik, majd mágnesesen csapdába ejtik, és bepárlással nagyon alacsony hőmérsékletre hűtik. Az első nagyobb közelítés, amely az MFT leírásához vezet, az, hogy az atomok belső állapotát figyelmen kívül hagyják. Az összes atomnak azonban különlegesen hiperfinom atomi alapállapotban kell tartózkodnia ahhoz, hogy csapdában maradhasson. Az atom belső állapotához kapcsolódó mágneses pillanat irányát polarizálták, hogy az atom helyén a csapda mágneses mező irányában feküdjön. Mivel az atomok nagyon hidegek és így lassan mozognak, feltételezzük, hogy az atom mágneses nyomatéka adiabatikusan követi a helyi mágneses teret [17]. Így az atom mágneses momentumának (μatom) és a külső mágneses mezővel való kölcsönhatásának energiája formában van

Ennek a feltételezésnek egy másik jellemzője, hogy a felhőben lévő atomok ütközése nem változtatja meg az atom belső állapotát. Vagyis minden ütközést rugalmasnak feltételezünk. Valójában a legtöbb rugalmatlan (spin-flip) bináris ütközés mindkét atomot kidobja a csapdából. Ez viszont korlátozza a kondenzátum élettartamát. Az ilyen élettartamokat az MFT-n belül ésszerűen pontos módon meg lehet jósolni, összehasonlítva a kísérletekkel. Az ilyen összehasonlításokat az alábbiakban mutatjuk be.

A felhőben lévő atomok közötti igazi interakciós potenciál meglehetősen összetett. Lásd ezzel kapcsolatban a Refs. [12–14] ebben a különszámban. Ennek a bonyolultságnak a legnagyobb része azonban csak akkor nyilvánvaló, ha az atomok közvetlen közelében vannak. A csapdában jelenlévő alacsony hőmérsékleti és sűrűségi körülmények között minden szóródási esemény rendkívül alacsony energián megy végbe. Következésképpen az atomok ritkán jutnak elég közel egymáshoz ahhoz, hogy az atomközi potenciál bonyolult jellegét megkóstolhassák. Az atom-atom kölcsönhatást tehát jól jellemzi az s-hullám szórási hossza, és az interakciós potenciál a következő formában írható fel:

ahol U0 = 4πħ 2 a/M, a az s-hullám triplett szórási hossza, és M az atomtömeg.

A következő részben bemutatjuk az MFT-egyenletek levezetését a Bogoliubov-recept alapján, amely azzal a feltevéssel kezdődik, hogy az atomfelhőt egy korlátozott nagy-kanonikus együttes közelítheti meg.

2.2 Bogoliubov recept

Vegyük figyelembe azt a sokatomos rendszert, amelynek hőmérséklete jóval a kondenzációs pont alatt van, és amely kondenzátumból és hőatomokból áll. A nagykanonikus, sokatomos hamilton, K ^ = H ^ - μ N ^ ahol H ^ a soktestű hamilton és N ^ a számoperátor, a mező operátor szempontjából a következőképpen íródik:

ahol H0 a csupasz csapdájú hamilton,

μ a kémiai potenciál, és a Vtrap (r) a csapda potenciálja.

A bozon mezei operátorok ψ † (r) és ψ (r), illetve létrehoznak és elpusztítanak egy atomot a helyzetükben r és kielégítik a kommutációs viszonyokat.

Bogoliubov-közelítés alapján feltételezzük, hogy a kondenzátum tartalmazza az atomok nagy részét, így N - N0 ψ ^ (r) = Ψ (r) + ϕ ^ (r),

ahol Ψ (r) kielégíti a normalizálási feltételt

Egyenérték beillesztése (6) az Eq. (3) és az ϕ (r), mint a másodfokú, a következő kifejezést adja K ^ -re .

Az első kifejezés a fenti egyenletben egy c-szám, a második és a harmadik kifejezés ugyanúgy eltűnik, ha Ψ (r) kielégíti a háziorvosi egyenletet [18]

Ezután a Bogoliubov-közelítő nagykanonikus hamiltoni [15], K ^ B

ahol ξ egy c-szám.

A bogoliubovi hamiltoni egy kvadratikus forma és egy c-szám összege, és a következő bogoliubovi transzformációval nem interakciós kvázirészecskék gyűjteményébe önthető [19]

ahol a βλ kvázi részecskék létrehozásának és megsemmisítésének operátorai, és azt az implicit feltételezést feltételezik, hogy a kondenzátum hullámfüggvény nem szerepel az összegben. A kvázi részecske operátorok kielégítik a bozon létrehozásának és megsemmisítésének operátorainak szokásos kommutációs viszonyait

A K ^ B redukciója nem interakciós kvázirészecskék gyűjteményére akkor következik be, ha az uλ és νλ kielégíti a következő egyenleteket (setting (r) = N 0 1/2 Ψ g (r) beállítása után)