Matematikai gondolkodás: vonalak és görbék

Pop kvíz: mi a különbség az alábbi két x-y grafikon között?

A válasz az, hogy ugyanazok a grafikonok - de az első fenti képen a haranggörbe egyik oldalán nagyítottunk.

A How Not to Be Wrong: A Guide to Mathematical Thinking című könyvében Jordan Ellenberg szerző rámutat, hogy ha egy görbe kis részére koncentrálsz, akkor az sokkal inkább egy vonalnak tűnik. Emberi, mint a vonalak, mert könnyen érthetőek. Rajzoljon néhány adatot és húzjon egy vonalat, és vizuális bizonyítéka van arra, hogy ebből több ad elő többet belőle, vagy hogy ebből több kevesebbet eredményez. Ha az x tengely egy időtartamot képvisel, akkor azt is megjósolhatja, hogy az adatok hogyan fognak kinézni évek múlva, kiterjesztve a vonalat a jövőbe.

A baj az, hogy a való élet hajlékonyabb és kevésbé rendezett, mint azt szeretett trendvonalunk elhiszi. Két olyan változó, amely boldogan kézen fogta és felfelé futott a diagramunkon, hirtelen felbomlhat és külön utakon haladhat. Tehát a trendvonal ellaposodik vagy teljesen megfordítja az irányt. Gyakran ilyen a való élet, és ha nem akarunk tévedni (ahogy a könyv címe mondja), nem szabad azt feltételeznünk, hogy egy adott irányba tartó trendvonal örökké ebben az irányban folytatódik.

Például valószínűleg látott olyan címsorokat, amelyek bejelentették, hogy 2040-re Amerikában mindenki elhízik. Igen, minden egyes ember. Ezek az előrejelzések a következő ábrákon alapulnak:

A kutatók egy 25 éves trendvonalat vesznek igénybe, amely 1990 és 2015 között tart, és egyszerűen meghosszabbítják azt további 25 évvel. Ez természetesen egy kicsit nevetséges. A népesség bizonyos nagyságú része nagyon ellenáll a kövérség kialakulásának. Még akkor is, ha a standard amerikai étrend nem megy át pozitív elmozduláson (ami szerintem már így is van), a valószínű forgatókönyv az, hogy amikor a tényleges adatokat 2040-ben ábrázoljuk, valami ilyennek fog kinézni:

A trendvonalak ellapulhatnak. Ez folyamatosan történik. Ezt látjuk, amikor beindul a csökkenő hozamok törvénye. Ha havonta egyszer emeltem a súlyokat, és havonta kétszer váltottam, akkor valószínűleg erősebb leszek. Rúgd hetente egyszer, és valószínűleg újra erősebb leszek. De valamikor a gyakoribb edzések nem tesznek erősebbé. Van egy korlát, hogy a test milyen gyorsan képes új, erősebb izomsejteket termelni.

A trendvonalak emelkedhetnek, majd eshetnek is, haranggörbét eredményezve. Több ez többet jelent egy pontig, de akkor még ennél is kevesebb ehhez vezet. Érdekes módon (legalábbis azok számára, akik szívesen olvasunk a közgazdaságtanról) Ellenberg az adókról és az általuk termelt bevételekről írva vezeti be a koncepciót.

Vitatkoztam olyan nagy kormányzati szerelmesek ismerőseivel, akik meg vannak győződve arról, hogy nincs olyan nemzeti probléma, amelyet ne tudnánk megoldani, ha csak lenne politikai bátorságunk komolyan felszámolni az adókat - különösen azokra az átkozott gazdagokra. Véleményük szerint az adókulcsok és az adóbevételek közötti kapcsolat a következőképpen néz ki:

A magasabb adókulcsok mindig magasabb bevételeket eredményeznek, és ezért több kormányzati juttatás mindenkinek - bármennyire is magasak a kulcsok.

De ez a valós életben nem így működik. Ellenberg nem érvel egy adott adókulcs mellett, de rámutat arra, amit minden épeszű közgazdász tud: egy ponton a magasabb adókulcsok kevesebb bevételt hoznak, nem többet, mert (többek között):

Az emberek kevesebb rendelkezésre álló jövedelemmel rendelkeznek áruk és szolgáltatások vásárlásához, ami azt jelenti, hogy kevesebb embert fognak foglalkoztatni azok biztosítására.
Többen döntenek úgy, hogy részt vesznek a föld alatti gazdaságban, hogy elkerüljék a magas adókat.
Kevesebb ember spórolhatja meg a tőkét, hogy új vállalkozást indítson.
Azok az emberek, akik már rendelkeznek tőkével egy új vállalkozás megkezdéséhez, úgy döntenek, hogy nem fognak zavarni, ha minden kockázatot vállalnak, de Sam bácsi vállalja majd a jutalom nagy részét.
A legmagasabb jövedelmi kategóriába eső emberek gyakran abbahagyják az év munkavégzését, miután minden további keresetüket elfogadhatatlannak ítélték meg.

Tehát az adókulcsok és az adóbevételek közötti kapcsolat haranggörbe:

Ellenberg megint nem egy adott adókulcs mellett szól. Egyszerűen rámutat arra, hogy bármely adott gazdasági körülmények között jóval nagyobb, mint 0% és jóval kevesebb, mint 100% -os arány lesz a legtöbb bevétel. Ha csak a görbe bal oldalára összpontosítunk, akkor azt hisszük, hogy a magasabb árak mindig több bevételt eredményeznek. Ha csak a görbe jobb oldalára koncentrálunk, akkor azt hisszük, hogy az alacsonyabb kamatlábak mindig több bevételt eredményeznek. Mindkét hiedelem téves - és természetesen a könyv címe: Hogyan ne legyünk rossz.

Az egyik módszer a tévedés elkerülésére az, hogy megértsük, hogy a való életben ennek és ennek a kapcsolata gyakran haranggörbe formájában jelenik meg. Alacsony szintről indulva több valami jó lehet ... de ez nem feltétlenül jelenti azt, hogy sokkal több jobb. Magas szintről indulva valamiből kevesebb is jó lehet ... de ez nem jelenti azt, hogy a nulla jobb.

A haranggörbe összefüggést folyamatosan látjuk az egészségtudományokban. Mennyi D-vitamint kell kapnia? A válasz biztosan így néz ki:

Alacsony szintről indulva jobb a több. De ez nem feltétlenül jelenti azt, hogy sokkal több jobb. Egy bizonyos ponton sokkal több mérgező.

Mennyi fehérjét kell enni? Tudjuk, hogy a túl kevés káros az egészségére. Elveszíti az izomtömeget és az immunrendszere meggyengül. De túl sok hasmenést és kiszáradást okozhat. Tehát a fehérje és az egészség kapcsolata haranggörbe.

De a haranggörbém valószínűleg nem ugyanazon a ponton tetőzik, mint a tiéd. És egy izmos sportolónak, aki nehéz edzéseket folytat, fehérjére lenne szüksége, mint nekem. Tehát a fehérje és az egészség közötti kapcsolat ilyennek tűnhet:

Az egészségügyben nem minden kapcsolat természetesen haranggörbe. Ha patkányméregről és egészségről beszélünk, a kapcsolat valószínűleg így néz ki:

A kevesebb a jobb, pont. Néha ez a valóság. Chareva édesanyja rendkívül allergiás a dióra. Tehát legalábbis a dió-egészség viszony nagyon hasonlít a fenti patkányméreg-egészség viszonyra.

Visszatérve a „Hogyan ne legyek rossz” témához, itt egy grafikus ábrázolás az egykor meggyőződésemről, amelyet most rossznak tartok:

Az anyagcsere-állapot a legmagasabb, közel nulla szénhidráthoz, majd onnan megy le. Hittem abban, hogy mivel magas szénhidráttartalmú étrendből alacsony szénhidráttartalmú étrendre váltottam, és az egészségem drámai módon javult. Szóval egy ideig arra gondoltam, hogy ha az alacsony jó, akkor a nulla közelében még jobbnak kell lennie. Lehet, hogy néhány emberre igaz, de nyilvánvalóan nem mindenkire.

Az alacsony szénhidráttartalmú körutazáson örömmel hallottam, hogy Dr. Justin Marchiagiani válaszolt a ketogén diétákkal kapcsolatos kérdésre azzal, hogy nem mindenkinek ajánlja őket. Minden pácienssel együtt megtalálja az ideális szénhidrát-bevitelét, amely számos tényezőtől függ. Egyeseknél ez napi 50 gramm vagy kevesebb; mások jobban érzik magukat és könnyebben fogynak napi 100 grammal vagy annál többet. Elmondása szerint a legjobbnak érzi magát, napi 75 és 100 gramm között. Kb. Itt vagyok most is.

Nincs mindenki számára ideális szénhidrátbevitel. Tehát a szénhidrátok és az anyagcsere-egészség közötti kapcsolat valahogy így néz ki:

Ha csak a görbe jobb oldalára összpontosítunk, akkor azt hisszük, hogy a több szénhidrát mindig rosszabb anyagcsere-egészséget jelent, így a szénhidrátbevitel ideális szintje közel nulla.

De ez figyelmen kívül hagyja a görbe bal oldalát. És ez a tévedés egyszerű módja.

Ha tetszik a bejegyzéseim, kérjük, fontoljon meg egy kis adományt a Fat Head Kids GoFundMe kampányhoz.